Aliran Filsafat Matematika

Ada tiga aliran yang digunakan sebagai acuan berpikir, yaitu: logicism, formalisme dan Intuisionisme. Aliran pemikiran ini tidak sepenuhnya dikembangkan sampai abad kedua puluh, tapi Korner (1960) menunjukkan bahwa akar filosofis mereka dapat ditelusuri kembali setidaknya sejauh Leibniz dan Kant.

A.    Logisme

Logisme memandang bahwa Matematika sebagai bagian dari logika. Pernyataan ini dikemukakan oleh G. Leibniz. Dua pernyataan penting yang dikemukakan di dalam aliran ini, yaitu:

a.     Semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika

b.     Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata.

Tujuan dari tuntutan ini jelas. Jika semua matematika dapat diekspresikan dalam teorema logika murni dan dibuktikan dari prinsip-prinsip logika sendiri, kemudian kepastian dari ilmu matematika dapat dikurangi untuk dan dari logika itu. Logika disadari untuk menyediakan sebuah dasar yang pasti atas kebenaran, sebagian dari ambisi yang berlebihan mencoba untuk menyampaikan logika, seperti hukum Frege yang kelima. Dengan demikian jika membantu, program logika akan menyediakan dasar logika yang pasti untuk pengetahuan matematika, melahirkan kembali kepastian yang mutlak dalam matematika.

Whitehead dan Russel (1910-13) mampu membangun yang pertama dari dua tuntutan melalui arti dari defenisi berantai. Bagaimanapun logika dibangun pada tuntutan yang kedua. Matematika meminta aksioma non logika seperti aksioma tidak terbatas (himpunan semua bilangan asli adalah tidak terbatas). Dan aksioma pilihan(hasil cartesian dari himpunan kosong adalah himpunan kosong itu sendiri). Russel mengekspresikannya pada dirinya sendiri sebagai pengikut.

Tetapi walaupun semua dalil  logika (atau matematika) dapat diekspresikan seluruhnya dalam teorema dari logika konstanta bersama dengan variable, itu bukanlah masalah bahwa, sebaliknya, semua dalil itu dapat diekspresikan dalam cara logika ini. kita telah menemukan sejauh kepentingan tetapi bukan sebuah standar yang perlu dari dalil matematika. Kita perlu menentukan karakter dari ide kuno dalam teorema yang mana semua ide dalam matematika dapat ditentukan. Tetapi bukanlah dalil kuno dari semua dalil dalam matematika dapat dibuktikan secara deduktif. Ini adalah sebuah masalah yang lebih sulit, yang mana belum diketahui apa jawaban seutuhnya.

Kita boleh mengambil aksioma dari jumlah tak berakhir sebagai sebuah contoh dari dalil yang, mengira itu dapat disebut dalam teorema logika. Tidak dapat dinyatakan oleh logika untuk menjadi benar.

Dengan demikian, tidak semua teorema dalam matematika dan karenanya tidak semua kebenaran dalam matematika dapat diperolah dari aksioma logika sendiri. Ini berarti bahwa aksioma matematika tidaklah menghapuskan rasa dari logika itu. Teorema matematika tergantung pada sebuah himpunan anggapan matematika yang tidak dapat dibagi lagi.tentu saja, sejumlah aksioma matematika yang penting berdiri sendiri, dan juga mereka atau ingkaran mereka dapat diadopsi tanpa ketidakkonsistenan (Cohen, 1966). Dengan demikian tuntutan yang kedua ditolak.

Untuk mengatasi masalah ini, Russel mundur untuk sebuah versi pelemah dari logistic disebut “jika ketuhanan” yang mana tuntutan itu matematika murni menghadirkan pernyataan implikasi dari bentuk “A →  T”. Menurut pandangan ini, sebelumnya kebenaran matematika dibangun sebagai teorema dengan pembuktian logika. Masing – masing teorema ini (T) menjadi konsekwen dalam pernyataan implikasi. Konjungsi dari aksioma matematika (A) digunakan dalam bukti tergabung dalam pernyataan implikasi sebagai antiseden (dalam Carnap, 1931). Jadi, semua asumsi matematika (A) yang mana tergantung pada teorema sekarang digabungkan ke dalam bentuk teorema yang baru (AT), menghindarkan kebutuhan untuk aksioma matematika. 

Banyak manipulasi untuk sebuah pengakuan bahwa matematika adalah sistem hipotesis deduktif, dimana konsekwensi dari himpunan asumsi aksioma di eksplorasi, tanpa menegaskan kebenaran yang diperlukan dalam matematika.

Sayangnya, perangkat ini juga mengarah pada kegagalan, karena tidak semua kebenaran matematika, seperti aritmatika Peano konsisten dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi seperti pendapat Marchover (1983).

Keberatan yang kedua, yang terlepas dari validitas dari dua tuntutan logicit, yang merupakan alasan utama untuk menolak formalisme. Ini adalah teorema ketidaklengkapan Godel, yang menetapkan bahwa pembuktian deduktif cukup untuk menunjukkan semua kebeanaran matematika. Oleh karena itu pengurangan kesuksesan dari aksioma matematika untuk logika masih tidak akan cukup untuk derivasi dari semua kebenaran matematika.       

Keberatan yang ketiga yang mungkin menyangkut kepastian dan keandalan yang mendasari logika. Hal ini tergantung pada keterujian dan pendapat, asumsi yang dibenarkan. Dengan demikian program logika mengurangi kepastian pengetahuan matematika untuk itu logika gagal dalam prinsip. Logika tidak menyediakan dasar yang pasti untuk pengetahuan matematika.

B.     Formalisme 

Dalam istilah populer, formalisme merupakan pandangan bahwa sebuah permainan formal yang tidak berarti yang dimainkan dengan tanda-tanda diatas kertas, mengikuti aturan-aturan.

Jejak filsafat dari formalis matematika dapat ditemukan dalam tulisan – tulisan Uskup Berkeley, tetapi pendukung utama formalisme adalah David Hilbert (1925), awalnya J. Von Neumann (1931) dan H. Curry (1951). Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan matematika kedalam sistem tafsiran formal. Dengan arti yang terbatas tetapi bermakna sistem formal  metamatematika terbukti memadai untuk matematika, dengan menurunkan keformalan dari semua kebenaran matematika, dan aman untuk matematika melalui bukti yang konsisten.

Menurut Ernest (1991) formalis memiliki dua tesis, yaitu:

1.     Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sembarangan, kebenaran matematika disajikan melalui teorema-teorema formal.

2.     Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.

Kekuranglengkapan teorema Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan bahwa program tidak bisa dipenuhi. Teorema yang pertama menunjukkan bahwa tidak semua kebenaran aritmatika dapat diturunkan dari aksioma Peano ( atau beberapa himpunan aksioma yang lebih rekursif luas).

Hasil pembuktian-teori ini sejak itu sudah dicontohkan dalam matematika oleh Paris dan Harrington, yang merupakan teorema versi Ramsey benar tetapi tidak dapat dibuktikan dalam aritmatika Peano (Barwise, 1977). Ketidaklengkapan teorema yang kedua menunjukkan bahwa dalam kasus konsistensi yang diinginkan membuktikan sebuah meta-matematika lebih kuat daripada sistem yang akan dijaga, yang mana jadinya tidak terjaga samasekali. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi aritmatika Peano mengharuskan semua aksioma sistem itu dan selanjutnya asumsi, seperti sistem induksi transfinite atas nomor urutan hitung (Gentzen, 1936)

Program formalis, seandainya berhasil, akan memberikan dukungan untuk sebuah pandangan kebenaran absolut matematika. Untuk bukti formal berbasis dalam konsistensi sistem matematika formalakan memberikan ujian untuk kebenaran matematika. Namun, dapat dilihat bahwa dalam  kedua tuntutan formalisme telah disangkal. Tidak semua kebenaran matematika dapat dipresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, dan selanjtunya sistem itu sendiri tidak dapat dijamin kebenarannya.

C.    Intuisionisme

Intuisionisme seperti L.E.J. Brouwer (1882-1966), berpendapat bahwa matematika suatu kreasi akal budi manusia. Bilangan, seperti cerita bohong adalah hanya entitas mental, tidak akan ada apabila tidak ada akal budi manusia memikirkannya. Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada.

Kebenaran pernyataan p tidak diperoleh melalui kaitan dengan obyek realitas, oleh karena itu intusionisme tidak menerima kebenaran logika bahwa yang benar itu p atau bukan p (Anglin, 1994). Intuisionisme mengaku memberikan suatu dasar untuk kebenaran matematika menurut versinya, dengan menurunkannya (secara mental) dari aksima-aksioma intuitif tertentu, penggunaan intuitif merupakan metode yang aman dalam pembuktian. Pandangan ini berdasarkan pengetahuan yang eksklusifpada keyakinan yang subyektif. Tetapi kebenaran absolut (yang diakui diberikan intusionisme) tidak dapat didasarkan pada padangan yang subyektif semata (Ernest, 1991).

Ada berbagai macam keberatan terhadap intusionisme, antara lain;

(1)   intusionisme tidak dapat mempertanggung jawabkan bahwa obyek matematika bebas, jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih tetap 4;

(2)   matematisi intusionisme adalah manusi timpang yang buruk dengan menolak hukum logika p atau bukan p dan mengingkari ketakhinggaan, bahwa mereka hanya memiliki sedikit pecahan pada matematika masa kini. Intusionisme, menjawab keberata tersebut seperti berikut; tidak ada dapat diperbuat untuk manusia untuk mencoba membayangkansuatu dunia tanpa manusia;

(3)   Lebih baik memiliki sejumlah sejumlah kecil matematika yang kokoh dan ajeg dari pada memiliki sejumlah besar matematika yang kebanyakan omong kosong (Anglin, 1994).

Sumber : http://devisutinimartha12.blogspot.co.id/2016/10/filsafat-matematika-dan-hakekat.html